ALL QUESTIONS (12)

MATRICES 

1) If A= 1    3 & B= 1    -1
              0    1          0     1
with relation AX = B, then find X

2) A= 1  2  3 B= 1  0  2  C= 4   4  10
          -1 -3 2       3  4  5       4   2  14
with the relation 2A+ kB = C, then find k.

3) If A= 4     2
              1     1 find (A- 2I)(A - 3I), where I is a unit matrix.

4) Solve:
a) 5x -12y = -9; 7x - 6y = -8.
b) 2x + 3y - 4z = 1, 3x -y +2z = -2, 5x -9y +14z =3.
c) x -2y +3z = 6, x + 4y + z = 12, x -3y + 2z =1.
d) x -2y - 3z = 4, 2x +y -3z = 5, -x +y +2z =3.
e) 

5) Construct a 3x4 matrix whose elements are aᵢⱼ= i + j.

6) If x+ y    y - z = 3    -1
        z -2x   y- x     1     1 then find x, y, z

7) If A= 3    1
              7    5, find Matrix x and y so that A²+ xI = yA. Hence find A⁻¹.

8) If A= 1 & B= 3    1    -2
              5
              7
Verify (AB)'= B'A'.

9) Find the inverse of a      b
                                      c      d given that ad - bc ≠ 0.

10) If A= 1     1
                 0    1 show that A³= 1   3
                                                    0   1 

11) Find A= 1   1   2 B= 1   2 
                     2   1   0       2   0
                                        -1   1
Verify B'A' = (AB)'.

12) If A= x² B= x  C= -2
                y²      2y       9 with the relation A - 3B= C then find x and y.

13) If A= 1  x  1 B= 1  3  2 & C= 1
                                 2  5  1          2
                                15 3  2          x with the relation ABC= 0, then find x.

14) Find the inverse of 
A= -1    1    2 
       3   -1    1
      -1    3    4 

15) Find the adjoint of the matrix 
A= 1     0      -1
      3     4       5
      0    -6      -7 and hence find the inverse matrix.

16) If A= 2      3 
                5     -2 then show that A⁻¹= A/19

17) A= x² B= 2x C= 7
            y²       3y      -3 with the relation A+ 2B = 3C, then find x and y.

18) Construct a matrix of order 3x2 whose element in iᵗʰ row and jᵗʰ column is given by aᵢⱼ = (3i+ j)/2.

19) If A= x²  3  4 B= -3x  1  -5 C= 4  4  -1
                1   9  8       -3  -2  -6      -2  7   2 with the relation A+ B = C find the value of x.

20) Let a be a square matrix, show that (1/2) (A+ A') is symmetric matrix and that (1/2)(A- A') is a skew symmetric matrix. Hence show that every square matrix may be expressed as the sum of symmetric and skew symmetric matrices.

21) If x+ y= 7   0 & x -y= 3  0
                    2   5              0  3 then find Matrix x and y.

22) If 2x+ 3y=2  3 & 3x +2y=-2  2
                        4  0                   1  -5 then find Matrix x and y.

23) If A= 1   -1 B= 2    1
                2    3       1    0 then show (A+ B)²≠ A²+ 2AB+ B²

24) If A= 3   -2
                4   -2 with the relation A²= kA - 2I, I is the unit matrix, then find k

25) If A= x  y B= -2  0 C= 1  2 
               -1 5       -1  5      0   0 with the relation 2A = B - C, then find x and y.

26) If (x  y  z) -(-5  3  0)= (-5  6  7), determine x, y, z.

27) If A= 2  -3 B= a  b C= -3   4
                4   0       c  d       5   -1 determine a, b, c, d.

28) Express in a single matrix 
A= 1   3 B= 8   4
      1  -4      4   8 as relation 4A - (1/2) B

29) If A= 1  2  3 B= 1  0  0
                0  1  2       0  0  0
                0  0  1       0  0  1 with the relation -2(X + A)= 3X + B, then find Matrix X.

30) If A= 3    5
               -4    2 find A²- 5A - 14I, then find inverse of A

31) A men invests Rs50000 into two types of bonds . The first bond pays 5% interest per year and the second bond pays 6% intrest per year. Use matrix multiplication to determine how to divide Rs50000 among two types of bonds so as to obtain an annual total interest of Rs2780.


DETERMINANTS 

1) x²     y²     z² 
    x³      y³     z³
  xyz    yzx  zxy = xyz(x - y)(y- z)(z - x)(xy + yz+ zx).

2) y+ z   x+ y     x
    z+ x   y+ z     y =(x³+ y³+z³- 3xyz)
    x+y    z+x      z

3)   a       b- c       c - b
     a- c      b          c- a
     a- b    b - a        c  = (a+ b- c)(b+ c - a)(c +a - b)

4) (b + c)²      a²      a²
       b²        (c+ a)²  b²
       c²            c²  (a+ b)²= 2abc(a+ b+ c)³

5) y+ z    z       y
      z     z+ x    x      = 4xyz
      y       x     x+ y

6) x      x²     1+ x³
     y      y²     1+ y³ = 0
     z      z²     1+ z³
Then show that xyz= -1.

7) x+ a       b         c 
       c       x+ b       a = 0
       a          b      x+ c
Then x is.                  0, -(a+b+c)

8) b²c²      bc    b+c
    c²a²      ca    c+a = 0
    a²b²      ab   a+ b

9) 1     1       1 
     a²   b²      c²
     a³   b³      c³= (a - b)(b- c)(c- a)(ab+ bc+ ca).

10) 2- x     3        3
        3     4- x       5 = 0
        3        5     4- x
Then find the roots of the equation.       0,-1,11

11) 2    0     0     1
      -6   -4     0     2
     -5   -1     -4     2
     -3    2      6    -3
Evaluate.                       188

12) -a²    ab    ac
       ba    -b²   bc= 4a²b²c²
       ac    bc   -c²

13) If s= a+ b+ c, then find the value of 
s+ c       a        b
   c       s+ a     b 
   c         a      s+b.                 2s³

14) 1+ a      1        1 
         1       1+ b     1 
         1          1     1+c
= abc(1+ 1/a + 1/b + 1/c)

15) a     b       c 
       a²   b²      c²
      bc   ca     ab
= (a- b)(b- c)(c - a)(ab + bc+ ca).

16) a          b         c 
     a- b    b- c      c- a
     b+c    c+ a    a+ b = a³+ b³+ c³- 3abc

17) a - b - c     2a        2a
           2b      b-c-a       2b =(a+b+c)³
           2c         2c      c-a-b

18) x³    x²       x
      y³     y²       y
      z³     z²       z
= xyz(x - y)(y - z)(x - z).

19) a²+1   ab      ac
         ba  b²+1     bc= a²+ b²+c²+1
         ca    cb    c²+1

20) 1      378     1893
       1      372     1892= 1
       1      371     1891

21) b+c  c+a  a+b     2a  2b  2c
       q+r   r+p  p+q=   2p  2q  2r
       y+z  z+x  x+y      2x  2y  2z

22) 1    a    a²- bc
       1    b    b²-ac= 0
       1    c    c²-ab

23) 42    6     1
       28    4     7 = 0
       14    2     3

24) c- a   a- b   b- c
       a- b  b- c    c- a= 0
       b-c   c- a    a-

25) 219   198   181
       240   225   198 = 0
       265   240   219

26) x+ 2   1    -3
         1    x-3  x-2= 0
        -3     -2    1 
Then find x.            2, 12

21) a     b- c    c- b
    a- c     b       c-a
    a- b  b- a      c
= (a+ b- c)(b+ c-a)(c+ a- b).

22) b²+ c²   a²         a²
         b²     c²+ a²     b²
         c²       c²      a²+ b²
= a²        bc     ac + c²
  a²+ ab   b²      ac
    ab    b²+bc     c²

23) 1   a   bc     1     1    1
       1   b  ca      a     b    c 
       1   c  ab     a²    b²   c²

24) x²   x    1
       0    2    1 = 28
       3.   1    4
Then find x.         3,-17/7

25) b    1    a
       c   -1    1 = 1+ a²+ b²+ c²
       1   -b   -ct

25) 3+ x    5       2
         1     7+x     6= 0
         2       5     3+ x
Then find x.         0,-1,-12

26) 1   1    1
       a   b    c 
       a³  b³  c³ express in factors.          (a- b)(b- c)(c -a)(a+ b+ c)

27) b+ c     a      a
         b     c+ a    b.      = 4abc
         c        c    a+ b

28) x      -6       -1
       2     -3x   x -3 = 0
      -3      2x   x+2
Find x.              1,2,-3

29) Find the area of triangle with Vertices (-1,-8)(3,2)(-2,-3).       15

30) A triangle with Vertices (x,4); (2,-6); (5,4) have area= 35 sq. cm. Find the value of x.    -2,12

31) Find the possible values of K if the system of equations x+ ky- z= 0, Kx - y -z = 0, x+ y- z= 0 has a non zero solution.        1

32) 





5) Solve: x+ y= 2; 2x - z=1; 2y- 3z =1.     3/4,5/4,1/2

) 2x-y-z=-6; x+3y-z= 0; 2x+ y+z=-2.     -2,1,1
) x - y=1; x+ z= -6; x+ y- 2z = 3.        -2,-3,-4
) 


6) Find the value of K
    3 - K      -1        1
     - K      5 - K     -1 = 0
       1        -1     3- K             2,3,6

7) Determine whether the following system are consistent or dependent.
a) 2x- y+z=2; 3x+ 2y- 4z =1; x - 4y+6z=3.       dependent 
b) x+ 3y- 2z=2; 3x -y- z=1; 2x+ 6y-4z = 3.     Inconsistent 
c) x - y+3z =6; x+ 3y- 3z =-4; 5x + 3y+3z =10.      Consistent 
d) Given the following system of equations is consistent: (x - a)(y- b)= ab; (x -b)(y- c)= bc; (x - c)(y- a)= ac. Prove a= b = c.
e) 

8) If the system of equations is consistent. Find the value of k.
a) 2x+ 3y-8= 0; 7x- 5y+3= 0; 4x - 6y+ k= 0.          8















INVERSE TRIGONOMETRICAL FUNCTION 

1) Show that: 4 tan⁻¹(1/5) - tan⁻¹(1/70) + tan⁻¹(1/99) = π/4.

2) Solve: tan⁻¹(2+ x) + tan⁻¹(2- x) = tan⁻¹(2/3).            ±3

3) Show that sinn⁻¹{x/√(1+ x²)} + cos⁻¹{(x+1)/√(x²+ 2x +2)}=  tan⁻¹(x²+ x+1).

4) Prove: cot(π/4 - 2 cot⁻¹3)= 7.

5) Find x if  sin⁻¹(5/x) + sin⁻¹(12/x) =π/2.       ±13

6) Find the value of sin cot⁻¹ cos(tan⁻¹x).        √{(1+ x²)/(2+ x²)}

7) Solve: sin⁻¹6x + sin⁻¹(6 √3 x) =-π/2.          ±1/12

8) Solve: sin⁻¹{2a/(1+ a²)} +  sin⁻¹{2b/(1+ b²)} = 2 tan⁻¹x.     (a+ b)/(1- ab)

9) Solve: sin(cos⁻¹cot(2tan⁻¹x))= 0.            ±1, √(3± 2√2)

10) Prove: sin⁻¹(√3/2) + 2tan⁻¹(1/√3) = 2π/3.

11) Show that: sin⁻¹(1/√17) + cos⁻¹(9/√85) = tan⁻¹(1/2).

12) Find the value of cos(2 cos⁻¹x + sin⁻¹x) at x= 1/5.          -2√6/5

13) Solve: cos(sin⁻¹x) = 1/9.           ±4√5/9

14) Show: tan⁻¹(1/3) + tan⁻¹(1/5) + tan⁻¹(1/7) + tan⁻¹(1/8) =π/4.

15) Solve: tan⁻¹2x + tan⁻¹3x =π/4.             1/6

16) Show: tan⁻¹{(1/2) tan2A}+ tan⁻¹(cotA) + tan⁻¹(cot³A) = 0.    

17) Show: 2(tan⁻¹1+ tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3))=π.

18) Show that: tan⁻¹x + cot⁻¹(x +1) = tan⁻¹(x²+ x+1).     

19) Prove: 2 cos⁻¹x = cos⁻¹(2x²-1).

20) Prove: tan⁻¹(1/4) + tan⁻¹(2/9) = (1/2) cos⁻¹(3/5).

21) Evaluate: tan(2tan⁻¹(1/5) - π/4).          -7/17

22) (1/2) tan⁻¹x = cos⁻¹[{1+ √(1+ x²)}/2√(1+ x²)].

23) If tan⁻¹a + tan⁻¹b + tan⁻¹c=π, then show that a+ b+ c= abc.

24) Show: sin⁻¹(4/5) + cos⁻¹(2/√5) = cot⁻¹(2/11).

25) Evaluate:
a) tan(1/2) (cos⁻¹(√5/3)).        (1/2) (3- √5)
b) cos(cos⁻¹(-√3/2) +π/6).         -1
c) sin[π/3 - sin⁻¹(-1/2)].          1

26) If tan⁻¹x + tan⁻¹y + tan⁻¹z =π/2, show that xy+yz+zx= 1.

27) Show that sec²(tan⁻¹2) + cosec²(cot⁻¹3) =15.

28) Show: sin⁻¹(12/13) + cos⁻¹(4/5) + tan⁻¹(63/16) =π.

29) If cos⁻¹(x/2) + cos⁻¹(y/3) = J, show that 9x²- 12xy cosK+ 4y²= 36 sin²K.

30) Show: 
a) tan⁻¹[{√(1+ x²)+ √(1- x²)}/{√(1+ x²) - √(1- x²)]=π/4 + (1/2) cos⁻¹x².
b) cos⁻¹(4/5) + cot⁻¹(5/3) = tan⁻¹(27/11).
c) tan(2tan⁻¹a)= 2tan(tan⁻¹a + tan⁻¹a³).
d) cot⁻¹{(pq +1)/(p - q)} + cot⁻¹{(qr +1)/(q - r)} + cot⁻¹{(rp +1)/(r - p)} = 0.
e) sin[sin⁻¹(1/2) + cos⁻¹(3/5)]= (3+4√3)/10.
f) cos[tan⁻¹(15/8) - sin⁻¹(7/25)]= 297/425.

31) Solve the following:
a) tan⁻¹{1/(2x+1)} + tan⁻¹{1/(4x+1)}) = tan⁻¹(2/x²).       0, -2/3, 3
b) tan⁻¹(x+1) + cospt⁻¹(x-1) = sin⁻¹(4/5) + cot⁻¹(3/4).      ±4√(3/7)
c) tan⁻¹(x -1) + tan⁻¹x + tan⁻¹(x +1) = tan⁻¹(3x).          0, ±1/2
d) sin⁻¹x + sin⁻¹2x=π/3.            1/6



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